RUMUS - RUMUS TRIGONOMETRI

. Bentuk Umum

B. Sudut-Sudut Istimewa

C. Hubungan Sudut Berelasi antara Sin, Cos dan Tangen




D. Rumus-rumus Trigonometri


1. Aturan sinus



2. Aturan Cosinus



3. Luas Segitiga ABC



4. Jumlah dan Selish Dua Sudut





5. Sudut 2A (Sudut Kembar)



6. Hasil Kali Dua Fungsi Trigonometri


7. Jumlah Selisih Dua Fungsi Trigonometri



8. Persamaan Trigonometri



9. Bentuk a Cos x + b Sin x



10. Bentuk a Cos x + b Sin x = c


11. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi f(x) =a Cos x + b Sin x

Rumus Phytagoras

Rumus Phytagoras adalah rumus yang sering di pakai dalam pelajaran matematika di sekolah. Kadang kita di buat bingung dengan rumus pitagoras matematika, bagaimana cara membuktikan kebenarannya? Kurang lebih uraian tentang rumusphytagoras seperti di bawah ini.

Rumus asli phytagoras

Membuktikan kebenarannya, di mulai dengan membuat gambar sebuah persegi besar, kemudian gambarlah sebuah persegi kecil di dalam persegi besar tersebut, seperti gambar berikut:

Perhitungannya :
Luas persegi besar = Luas persegi kecil + 4 Luas segitiga ( b + a ) . ( b + a ) = c . c + 4 . 1/2 b.a 

b² + 2 b.a + a² = c² + 2 b.a

b² + a² = c² + 2 b.a - 2 b.a

b² + a² = c²

Berdasarkan rumus tersebut terbukti bahwa sisi miring sebuah segitiga siku - siku adalah akar dari jumlah kuadrat sisi - sisi yang lain.

MATRIKS

MATRIKS SATUAN
adalah suatu matriks bujur sangkar, yang semua elemen diagonal utamanya adalah 1, sedangkan elemen lainya adalah 0.
Notasi : I (Identitas)

I2 =	é 1 0 ù ë 0 1 û	I3 =	é 1 0 1 ù ê 0 1 0 ú ë 0 0 1 û

Sifat AI = IA = A


MATRIKS INVERS
Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ordo yang sama danAB = BA = 1, maka B dikatakan invers dari A (ditulis A^-1) dan A dikatakan invers dari B (ditulis B^-1).
Jika A = é a b ù , maka A-1 =     1       = é  d -b ù
Jika A = ë c d û , maka A-1 = ad - bc ttt ë -c  a û

• Bilangan (ad-bc) disebut determinan dari matriks A
• Matriks A mempunyai invers jika Determinan A ¹ 0 dan disebut matriks non singular.
  
  Jika determinan A = 0 maka A disebut matriks singular.

Sifat A . A^-1 = A^-1 . A = I
Perluasan
A . B = I    ® A = B^-1      B = A^-1
A . B = C ® A = C . ^B-1   B = A^-1 . C
Sifat-Sifat
1. (A^t)^t = A
2. (A + B)^t = A^t + B^t
3. (A . B)^t = B^t . A^t
4. (A^-t)^-t = A
5. (A . B)^-1 = B^-1 . A^-1
6. A . B = C ® |A| . |B| = |C|

ax + by = p     ditulis
cx + dy = q

   A     X      B

é a b ù é x ù =   é p ù
ë c d û ë y û =   ë q û

AX = B , maka X = A^-1 . B

1. Cara Matriks
   
   é x ù =     1        = é d -b ù é p ù
   ë y û    ad - bc      ë -c a û ë q û
   
   
2. Cara Determinan = =

	x =	Dx	ê p b ú  ê q d ú	Dy	ê a p ú ê c q ú
		————— =	——————	; y = ———— =	——————
		D	ê a b ú ê c d ú	D	ê a b ú ê c d ú
Transformasi Geometri  Matematika Kelas 2 > Matriks Transformasi adalah suatu perpindaban/perubaban. TRANSLASI (Pergeseran sejajar) Matriks Perubahan Perubahan é a ù ë bû (x,y) ® (x+a, y+b) F(x,y) = 0 ® (x-a, y-b) = 0 Ket :  x' = x + a ® x = x' - a y' = y + b ® y = y' -b Sifat: Dua buah translasi berturut-turut é a ù diteruskan dengan                                               ë b û dapat digantikan dengan é c ù translasi tunggal é a + c ù                                  ë d û                       ë b + d û  Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah. REFLEKSI (Pencerminan terhadap garis) Pencerminan terhadap Matriks Perubahan Titik Perubahan fungsi sumbu-x é 1 -0 ù ë 0 -1 û (x,y) ® (x,-y) F(x,y) = 0 ®F(x,-y) = 0 sumbu -y é -1 0 ù ë -0 1 û (x,y) ® (-x,y) F(x,y) = 0 ®F(-x,y) = 0 garis y = x é 0 1 ù ë 1 0 û (x,y) ® (y,x) F(x,y) = 0 ®F(y,x) = 0 garis y = -x é -0 -1 ù ë -1 -0 û (x,y) ® (-y,-x) F(x,y) = 0 ®F(-y,-x)= 0 Ket. : Ciri khas suatu matriks Refleksi adalah determinannya = -1 SIFAT-SIFAT Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah.  Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat: Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan. Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat: Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran. Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan. Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.  ROTASI (Perputaran dengan pusat 0) rotasi matriks perubahan titik perubahan fungsi ½ p é0  -1ù ë1 -0 û (x,y) ® (-y,x) F(x,y) = 0 ® F(y,-x) = 0 p é-1  0ù ë1 -1 û (x,y) ® (-x,-y) F(x,y) = 0 ® F(-x,-y) = 0 3/2 p é0  -1ù ë-1 0 û (x,y) ® (y,-x) F(x,y) = 0 ® F(-y,x) = 0 q écosq -sinq ù ësinq  cosq û (x,y) ® (x cos q - y sinq, x sin q + y cos q) F(x,y) = 0 ® F(x cos q + y sin q, -x sin q + y cos q) = 0 Ket.: Ciri khas suatu matriks Rotasi adalah determinannya = 1 SIFAT-SIFAT Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula. Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya. Catatan:  Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.  DILATASI (Perbesaran terhadap pusat 0)  Dilatasi Matriks Perubahan titik Perubahan fungsi (0,k) ék  0ù ë0  kû (x,y)®(kx,ky) F(x,y)=0®F(x/k,y/k) Ket.: (0, k) merupakan perbesaran atau pengecilan dengan tergantung dari nilai k. Jika A' adalah peta dari A, maka untuk: a. k > 1 ® A' terletak pada perpanjangan OA b. 0 < k < 1 ® A' terletak di antara O dan A c. k > 0 ® A' terletak pada perpanjangan AO TRANSFORMASI LINIER Ditentukan oleh matriks éa  bù                                 ëc  dû  é x' ù = é a b ù é x ù ë y' û   ë c d û ë y û é x ù =    1        é a -b ù é x' ù ë y û   ad - bc     ë -c d û ë y' û   Perubahan Titik Perubahan Fungsi (x,y)®(ax+by, cx+dy) F(x,y)=0 ® édx - by , -cx + ay ù                 ëad - bc    ad - bc û Prinsipnya adalah mencari matriks invers dari matriks transformasi yang diketahui.
Komposisi Transfromasi dan Transformasi Invers Matematika Kelas 2 > Matriks KOMPOSISI TRANSFORMASI Jika A =   é a b ù adalah T1 dan B = é e f ù adalah T2 ttt         ë c d û                          ë g hû maka T2 ° T1 = BA = é e f ù é a b ù                             ë g hûë c d û ® menyatakan transformasi T1 dilanjutkan dengan T2 TRANSFORMASI INVERS Jika suatu transformasi diwakili oleh matriks M, memetakan titik P ke P1, maka transformasi ini memetakan P1 ke P, diwakili oleh matriks M-1(yaitu jika M-1 ada).