BENTUK ALJABAR

A. Pengertian Bentuk Aljabar

1. x, 2y, x+3y , 3p+5q, a2 + b + 3 disebut bentuk aljabar

2. a x2 + bx + c = 0 ; a,b,c,x dan 0 adalah lambang-lambang aljabar
    a dan b disebut koefisien ; c disebut konstanta
    x2 dan x disebut variabel

3. 2 x2 ; 2 disebut koefisien dan x2 disebut variabel
    5q ; 5 disebut koefisien dan q disebut variabel

4. 2x dan 3x merupakan dua suku sejenis

5 x2 dan 7 x merupakan dua suku tidak sejenis

Unsur-unsur suku sejenis dapat dikumpulkan menjadi satu .
Pada penjumlahan dan pengurangan suku sejenis berlaku hukum distributive
A(B ± C) = AB ± AC

contoh:
1. 4b + 5b = (4+5) b= 9b
2. 3 (2p + 3q) = 6p+ 9q
3. 2 x2 - 4x - x2 + 2x = 2 x2 - x2 - 4x + 2x = x2 (2-1) + x(-4+2) = x2 + x(-2)
= x2 - 2x

B. Operasi Pada Bentuk Aljabar
1. Penjumlahan

ax + bx = (a+b)x
ax + b + cx + d = (a+c)x + (b+d)
contoh:
1. 7x + 3x = ?
2. -2 x2 - 3 x2= ?
3. 2 x2 -3 + x2 - 4 = ?

Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
Jawab :
1. 7x + 3x = (7+3)x = 10x
2. -2 x2 - 3 x2= (-2-3) x2 = -5 x2
3. 2 x2 -3 + x2 - 4 = (2+1) x2 + (-3-4) = 3 x2 - 7

2. Pengurangan

ax - bx = (a-b)x
ax - b - cx - d = (a - c)x - (b+d)
contoh :
1. 7x – 3x = ?
2. 5x – 8 – 2x – 1 = ?
jawab :
1. 7x – 3x = (7-3)x = 4x
2. 5x – 8 – 2x – 1 = (5-2)x – (8+1) = 3x - 9

3. Perkalian

a. Perkalian konstanta dengan bentuk aljabar

a(bx+cy) = abx + acy
contoh :
1. 5 (2x+4y) = 10x + 20y
2. -3(3x-2y) = -9x + 6y

b. Perkalian bentuk aljabar dengan bentuk aljabar

ax(bx+cy) = ab x2 + acxy
ay(bx+cy) = abxy + ac y 2
(x+a) (x+b) = x2+ bx + ax +ab
contoh :
1. 3x(2x+3y) = 6 x2 + 6xy
2. (3x+y) (x-2y) = 3 x . x + (3x . -2y) + y. x + (y . -2y) = 3 x2+ (-6xy)+xy+(-2 y2 )
= 3 x2 - 2 y 2 - 5xy
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

3. Pembagian

contoh :
1. (8x+4):4 =
4
8x + 4 =
4
1 (8x + 4) = 2x + 1
2. 12 a2 : 3a =
a
a
3
12 2
=
a
a a
3
12 . = 4a

4. Pangkat Bentuk Aljabar

contoh :
1. (3x)2 = 3x . 3x = 9 x2
2. (2x – 3y )2 = 2x . 2x + 2. 2x . -3y + (−3y)2
= 4 x2+ (-12xy) + 9 y2
= 4 x2+ 9 y2 - 12xy

5. Faktorisasi Bentuk Aljabar

ax2 + bx + c = 0
gunakan rumus abc(rumus kuadrat) :
x1,2 =
a
b b ac
2
− ± 2 − 4
Dengan syarat determinannya (D) harus ≥ 0
Dimana D = b2 − 4ac
Faktorisasi:
ax2 + bx + c = (x ± 1 x ) . (x ± 2 x )

Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
contoh soal :
3x2 – 5x + 2 =
a = 3 ; b = -5 ; c =2
D = b2 − 4ac
= (−5)2 - 4.3.2 = 25 – 24 =1 􀃆 berarti bisa dicari
x1,2 =
a
b b ac
2
− ± 2 − 4 =
2.3
5 ( 5) 2 2 4.3.2 ± − −
=
2.3
5 ± 25 − 4.3.2
=
6
5 ± 25 − 24.
1 x =
6
5 + 25 − 24.
=
6
5 +1
= 1
2 x =
6
5 − 25 − 24.
=
6
5 −1
=
6
4 =
3
2
Sehingga factor di atas sbb ;
3 x2 – 5x + 2 = (x-1) (3x-2)
Catatan :
Kalau didapatkan 1 x atau 2 x bernilai positif maka di dalam persamaan menjadi x - 1 x
atau x - 2 x
Kalau didapatkan 1 x atau 2 x bernilai negatif maka di dalam persamaan menjadi x + 1 x
atau x + 2 x
Kalau didapatkan 1 x atau 2 x berbentuk pecahan maka di dalam persamaan sbb :
contoh di atas didapatkan 2 x =
3
2
3 2 x =2 􀃆 3 2 x - 2 = 0 ; di dalam persamaan menjadi 3x – 2
C. Menyederhanakan Pecahan Bentuk Aljabar
Cara untuk menyederhanakan pecahan bentuk aljabar yaitu dengan menyederhanakan
pembilang dan penyebut sesederhana mungkin sehingga pembilang dan penyebut tidak
mempunyai faktor-faktor persekutuan lagi.
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya

Contoh ;
Sederhanakan pecahan bentuk aljabar berikut ;
2 3
2 9 9
2
2
+ −
+ +
x x
x x =
Jawab :
sederhanakan pembilang dan penyebutnya .
bisa tidak ya….
Kita cari D (determinannya) terlebih dahulu.
D = b2 − 4ac 􀃆 D pembilang = 92 - 4.2.9 = 81 – 72 = 9 􀃆 ok
D penyebut = 22 - 4.1.(-3) = 4 +12 = 16 􀃆 ok
sederhanakan pembilang dan penyebut dengan menggunakan rumus abc
x1,2 =
a
b b ac
2
− ± 2 − 4
Pembilang 􀃆 x1,2 =
2.2
− 9 ± 92 − 4.2.9.
=
4
− 9 ± 9.
=
4
− 9 ± 3
1 x =
4
− 9 + 3
=
4
− 6
=
2
− 3
􀃆 x =
2
− 3
􀃆 x +
2
3 = 0 􀃆 2x+3 = 0
2 x =
4
− 9 − 3
=
4
−12
= -3 􀃆 x = -3 􀃆 x +3 = 0

bentuk peyederhanaannya menjadi : 2x2 + 9x + 9 = (2x+3)(x+3)
Penyebut 􀃆 x1,2 =
2.1
− 2 ± 22 − 4.1.(−3)
=
2
− 2 ± 16.
=
2
− 2 ± 4
1 x =
2
− 2 + 4
=
2
2 = 1 􀃆 x = 1 􀃆 x - 1 = 0
2 x =
2
− 2 − 4
=
2
− 6
= -3 􀃆 x = -3 􀃆 x +3 = 0

Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
bentuk peyederhanaannya menjadi : x2 + 2x − 3 = (x-1)(x+3)
Sehingga :
2 3
2 9 9
2
2
+ −
+ +
x x
x x =
(x -1)(x 3)
(2x 3)(x 3)
+
+ +
=
( 1)
(2 3)
−
+
x
x
D. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Bentuk Aljabar

Dalam penjumlahan dan pengurangan pecahan bentuk aljabar penyebut kedua pecahan
harus disamakan terlebih dahulu
Contoh :
( 1)
1
x −
+
( 3)
1
x +
=
(x -1)(x 3)
( 3)
+
x + +
(x -1)(x 3)
( 1)
+
x −
=
(x -1)(x 3)
( 3) ( 1)
+
x + + x −
=
(x -1)(x 3)
2 2
+
x +
Catatan:
(x -1)(x 3)
( 3)
+
x + =
( 1)
1
x −
;
(x -1)(x 3)
( 1)
+
x − =
( 3)