Minggu, 11 Desember 2011

MATRIKS



MATRIKS SATUAN
adalah suatu matriks bujur sangkar, yang semua elemen diagonal utamanya adalah 1sedangkan elemen lainya adalah 0.
Notasi : I (Identitas)
I2 =é 1 0 ù
ë 0 1 û
I3 =é 1 0 1 ù
ê 0 1 0 ú
ë
 0 0 1 û


Sifat AI = IA = A


MATRIKS INVERS
Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ordo yang sama danAB = BA = 1, maka B dikatakan invers dari A (ditulis A-1) dan A dikatakan invers dari B (ditulis B-1).
Jika A = é a b ù , maka A-1 =     1       = é  d -b ù
Jika A = 
ë c d û , maka A-1 = ad - bc ttt ë -c  a û



  • Bilangan (ad-bc) disebut determinan dari matriks A
  • Matriks A mempunyai invers jika Determinan A ¹ 0 dan disebut matriks non singular.

    Jika determinan A = 0 maka A disebut matriks singular.


Sifat A . A-1 = A-1 . A = I
Perluasan
A . B = I    ® A = B-1      B = A-1
A . B = C 
® A = C . B-1   B = A-1 . C

Sifat-Sifat
1. (At)t = A
2. (A + B)t = At + Bt
3. (A . B)t = Bt . At
4. (A-t)-t = A
5. (A . B)-1 = B-1 . A-1
6. A . B = C 
® |A| . |B| = |C|




ax + by = p     ditulis
cx + dy = q

   A     X      B

é a b ù é x ù =   é p ù
ë c d û ë y û =   ë q û

AX = B , maka X = A-1 . B

  1. Cara Matriks

    é x ù =     1        = é d -b ù é p ù
    ë y û    ad - bc      ë -c a û ë q û

  2. Cara Determinan = =

x =
Dx
ê p b ú 
ê q d ú
Dy
ê a p ú
ê
 c q ú


————— =
——————
; y = ———— =
——————


D
ê a b ú
ê c d ú 
D
ê a b ú
ê
 c d ú 


Transformasi Geometri 
Matematika Kelas 2 > Matriks
Transformasi adalah suatu perpindaban/perubaban.
  1. TRANSLASI (Pergeseran sejajar)
Matriks
Perubahan
Perubahan
é a ù
ë bû
(x,y) ® (x+a, y+b)
F(x,y) = 0 ® (x-a, y-b) = 0
Ket : 
x' = x + a
 ® x = x' - a
y' = y + b
 ® y = y' -b
  1. Sifat:
    • Dua buah translasi berturut-turut é a ù diteruskan dengan 
                                                  
       ë b û
      dapat
       digantikan dengan é c ù translasi tunggal é a + c ù
                                       
      ë d û                       ë b + d û 
    • Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah.

  2. REFLEKSI (Pencerminan terhadap garis)
Pencerminan terhadap
Matriks
Perubahan Titik
Perubahan fungsi
sumbu-x
é 1 -0 ù
ë 0 -1 û
(x,y) ® (x,-y)
F(x,y) = 0 ®F(x,-y) = 0
sumbu -y
é -1 0 ù
ë -0 1 û
(x,y) ® (-x,y)
F(x,y) = 0 ®F(-x,y) = 0
garis y = x
é 0 1 ù
ë 1 0 û
(x,y) ® (y,x)
F(x,y) = 0 ®F(y,x) = 0
garis y = -x
é -0 -1 ù
ë -1 -0 û
(x,y) ® (-y,-x)
F(x,y) = 0 ®F(-y,-x)= 0


  1. Ket. : Ciri khas suatu matriks Refleksi adalah determinannya = -1


    SIFAT-SIFAT
    1. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah. 
    2. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat:
      • Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan.
      • Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip.
    3. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif.
    4. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:
      • Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.
      • Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan.
      • Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua. 

  1. ROTASI (Perputaran dengan pusat 0)
rotasi
matriks
perubahan titik
perubahan fungsi
½ p
é0  -1ù
ë1 -0 û
(x,y) ® (-y,x)
F(x,y) = 0 ® F(y,-x) = 0
p
é-1  0ù
ë1 -1 û
(x,y) ® (-x,-y)
F(x,y) = 0 ® F(-x,-y) = 0
3/2 p
é0  -1ù
ë-1 0 û
(x,y) ® (y,-x)
F(x,y) = 0 ® F(-y,x) = 0
q
écosq -sinq ù
ësinq  cosq û
(x,y) ® (x cos q - y sinq, x sin q + y cos q)
F(x,y) = 0
 ® F(x cos q + y sin q, -x sin q + y cos q) = 0

  1. Ket.: Ciri khas suatu matriks Rotasi adalah determinannya = 1

    SIFAT-SIFAT
    1. Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula.
    2. Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.

      Catatan:
       

      Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut
       transformasi isometri. 

  2. DILATASI (Perbesaran terhadap pusat 0) 
Dilatasi
Matriks
Perubahan titik
Perubahan fungsi
(0,k)
ék  0ù
ë0  kû
(x,y)®(kx,ky)
F(x,y)=0®F(x/k,y/k)

  1. Ket.:

    (0, k) merupakan perbesaran atau pengecilan dengan tergantung dari nilai k.

    Jika A' adalah peta dari A, maka untuk:
    a. k > 1
     ® A' terletak pada perpanjangan OA
    b. 0 < k < 1
     ® A' terletak di antara O dan A
    c. k > 0
     ® A' terletak pada perpanjangan AO

  2. TRANSFORMASI LINIER

    Ditentukan oleh matriks
     éa  bù
                                    
    ëc  dû 

    é x' ù = é a b ù é x ù
    ë y' û   ë c d û ë y û


    é x ù =    1        é a -b ù é x' ù
    ë y û   ad - bc     ë -c d û ë y' û  
Perubahan Titik
Perubahan Fungsi
(x,y)®(ax+by, cx+dy)
F(x,y)=0 ® édx - by , -cx + ay ù
                
ëad - bc    ad - bc û

  1. Prinsipnya adalah mencari matriks invers dari matriks transformasi yang diketahui.


Komposisi Transfromasi dan Transformasi Invers
Matematika Kelas 2 > Matriks
KOMPOSISI TRANSFORMASI
Jika A =   é a b ù adalah T1 dan B = é e f ù adalah T2
ttt         ë c d û                          ë g hû

maka T2
 ° T1 = BA = é e f ù é a b ù
                            ë g hûë c d û
® menyatakan transformasi T1 dilanjutkan dengan T2

TRANSFORMASI INVERS
Jika suatu transformasi diwakili oleh matriks M, memetakan titik P ke P1, maka transformasi ini memetakan P1 ke P, diwakili oleh matriks M-1(yaitu jika M-1 ada).

Tidak ada komentar:

Posting Komentar